试题：
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
3
2
，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为
6
5
5
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的取值范围．
椭圆的标准方程及图象, 圆锥曲线综合 2016-05-25

答案：

我来补答
（1）由离心率e=
c
a
=
3
2
，得
b
a
=
1-e2
=
1
2
∴a=2b①
∵原点O到直线AB的距离为
6
5
5

∴
ab
a2+b2
=
6
5
5
②，
将①代入②，得b2=9，∴a2=36
则椭圆C的标准方程为
x2
36
+
y2
9
=1
（2）∵EP⊥EQ∴
EP
•
EQ
=0
∴
EP
•
QP
=
EP
•(
EP
-
EQ
)=
EP
2
设P（x，y），则
x2
36
+
y2
9
=1，即y2=9-
x2
4

∴
EP
•
QP
=
EP
2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-
x2
4
=
3
4
(x-4)2+6
∵-6≤x≤6，∴6≤
3
4
(x-4)2+6≤81
则
EP
•
QP
的取值范围为[6，81]．
 
 
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这些题目你会做吗？
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