试题：
已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且（0，-
2
）是椭圆M的一个焦点，又点A（1，
2
）在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的斜率是
2
，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．
椭圆的标准方程及图象, 圆锥曲线综合 2016-05-25

答案：

我来补答
（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，-
2
），故设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
a2-2
=1．
将点A（1，
2
）代入方程得
2
a2
+
1
a2-2
=1，整理得a4-5a2+4=0，
解得a2=4或a2=1（舍）．
故所求椭圆方程为
y2
4
+
x2
2
=1
（Ⅱ）设直线BC的方程为y=
2
x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2）
代入椭圆方程并化简得4x2+2
2
mx+m2-4=0，
由△=8m2-16（m2-4）＞0，可得m2＜8①
由x1+x2=-
2
2
m，x1x2=
m2-4
4
，
故|BC|=
3
|x1-x2|=
3
•
16-2m2
2
．
又点A到BC的距离为d=
|m|
3
，
故S△ABC=
1
2
|BC|d=
m2(16-2m2)
4
≤
1
4
2
•
2m2+(16-2m2)
2
=
2
，
当且仅当2m2=16-2m2，即m=±2时取等号（满足①式）
所以△ABC面积的最大值为
2
．
 
 
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