设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M(2，1)，且左焦点为F1(-2，0) / 微思试题库

试题：

设椭圆C：

=1（a＞b＞0）过点M(

，1)，且左焦点为F1(-

，0)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

|•|

|=|

|•|

|，证明：点Q总在某定直线上．

直线与椭圆方程的应用, 椭圆的标准方程及图象 2016-05-25

答案：

我来补答

（Ⅰ）由题意得

c2=2

c2=a2-b2

，
解得a²=4，b²=2，
所以椭圆C的方程为

=1．

（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题设知|

|，|

|均不为零，记λ=

，则λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四点共线，从而

=-λ

，

=λ

于是4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

从而

-λ2

1-λ2

=4x①，

-λ2

1-λ2

=y②，
又点A、B在椭圆C上，即x₁²+2y₁²=4 ③，x₂²+2y₂²=4 ④，
①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，
即点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．

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