试题：
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
2
2
，且过点（0，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A、B，若E(-
2
，0)，D(
2
，0)，求证：直线EA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）若直线l经过椭圆C的左焦点交椭圆C于P、Q两点，O为坐标原点，且
OP
•
OQ
=-
1
3
，求直线l的方程．
椭圆的标准方程及图象, 圆锥曲线综合 2016-05-25

答案：

我来补答
（1）依题意有：b=1，
c
a
=
2
2
，又a2=c2+1，
解得：a=2，c=1，
故椭圆C的方程为：
x2
2
+y2=1．
（2）依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y）．且有
t2
2
+y02=1，
又EA：y=
y0
t+
2
(x+
2
)，DB：y=
-y0
t-
2
(x-
2
)，
∴y2=
-y02
t2-2
(x2-2)，由
t2
2
+y02=1得：y02=
1
2
(2-t2)
代入即得y2=
1
2
(x2-2)，即为：
x2
2
-y2=1，
所以直线EA与直线BD的交点K必在双曲线
x2
2
-y2=1上．
（3）（A）当直线l的斜率不存在时，P(-1，
1
2
)，Q(-1，-
1
2
)，此时
OP
•
OQ
=1-
1
2
=
1
2
，不满足要求；
（B）当直线l的斜率存在时设为k，则直线l为：y=k（x+1），代入
x2
2
+y2=1得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
由
OP
•
OQ
=-
1
3
得：x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=-
1
3
，
即：(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=-
1
3
；
则：(1+k2)
2k2-2
1+2k2
+k2
-4k2
1+2k2
+k2=-
1
3
；
解得：k2=1⇒k=±1；
直线l过椭圆C的左焦点，故恒有两个交点，则k=±1满足要求，
故直线l的方程为：y=x+1或y=-x-1．
 
 
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