已知圆A：（x+2）2+y2=32，圆P过定点B（2，0）且与圆A内切．（1）求圆心P的轨 / 微思试题库

试题：

已知圆A：（x+2）²+y²=32，圆P过定点B（2，0）且与圆A内切．
（1）求圆心P的轨迹方程C；
（2）过Q（0，3）作直线l交P的轨迹C于M、N两点，O为原点．当△MON面积最大时，求此时直线l的斜率．

动点的轨迹方程 2016-05-25

答案：

我来补答

（1）由题意，两圆相内切，故|PA|=4

-|PB|，即|PA|+|PB|=4

．
又∵AB=4＜4

∴动圆的圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4

的椭圆．
动点P的轨迹方程为

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：x=m（y-3），直线与x轴的交点为A（-3m，0）
S_△MON=

|OA|•|y₁-y2|
把x=m（y-3），代入椭圆方程，得m²（y-3）²+2y²-8=0，
即（m²+2）y²-6m²y-8+9m²=0，△=64-40m²＞0，⇒m²＜

y₁+y₂=

6m2

m2+2

，y₁y₂=

9m2-8

m2+2

，
|y₁-y₂|=

(

6m2

m2+2

)2-4×

9m2-8

m2+2

64-40m2

m2+2

∴S_△AOB=

|3m|

64-40m2

m2+2

16m2-10m4

(m2+2)2

-10+

m2+2

(m2+2)2

，令t=

m2+2

，
所以S_△AOB=3

-72t2+56t-10

≤2

，当t=

时，即m²=

＜

时面积取得最大值．
此时直线的斜率为：

=±

．

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