(1)由动点C满足=t,知点C的轨迹是M、N两点所在的直线, 又因为直线MN的方程为x-y-4=0 ∴点C的轨迹方程为x-y-4=0 设A(x1,y1),B(x2,y2) 由 得: x2-12x+16=0 ∴x1•x2=16,x1+x2=12 又y1•y2=(x1-4)•(x2-4)=-16 ∴x1•x2+y1•y2=0 ∴⊥; (2)假设存在P(m,0)(m≠0),使得过点P的直线l交抛物线y2=4x 于D,E两点,并以线段DE为直径的圆都过原点, 由题意知:弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为:x=ky+m, 代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,设D(x1,y1),E(x2,y2) ∴y1+y2=4k,y1y2=-4m. 若以弦DE为直径的圆都过原点,则OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0. 即 ++y1y2=m2-4m,解得m=0 (不合题意,舍去)或 m=4. ∴存在点P(4,0),使得过P点任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点. 设弦D,E的中点为M(x,y) 则x=(x1+x2),y=( y1+y2)=2k, x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8, ∴x=2k2+4,y=2k, ∴消去k得弦D,E的中点M的轨迹方程为:y2=2x-8. ∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8. |