已知函数f(x)=ax+1x(a＞0)（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x / 微思试题库

试题：

已知函数f(x)=ax+

(a＞0)
（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；
（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

函数的单调性、最值, 函数的奇偶性、周期性 2016-05-22

答案：

我来补答

（1）任意取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=(x1+

)-(x2+

)=(x1-x2)(1-

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
0＜x₁x₂＜1，所以x₁x₂-1＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（ 0，1]上是单调减函数．
（2）∵x∈（0，+∞），f（x）=ax+

ax2+1

≥1恒成立，
等价于当x∈（0，+∞）时ax²-x+1≥0恒成立即可，
∴a≥

x-1

在x∈（0，+∞）恒成立又

∈（0，+∞），
令g（x）=

x-1

=-（

）²+

=-（

）²+

≤

∴a≥

故a的取值范围[

，+∞）．

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