试题：
| 定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2 （1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由； （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． |
函数的定义域、值域, 函数的单调性、最值, 函数的最值与导数的关系
2016-05-22
答案：
我来补答解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ ∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1 ∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1） 因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞） ∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数． （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数， 则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3 ∴﹣3≤ax2+x+1≤3 ∴  ≤a≤  ，即﹣ ﹣ ≤a≤  ﹣ 在[1，4]上恒成立， ∴（﹣  ﹣ ）max≤a≤（ ﹣ ）min，令t=  ，则t∈[  ，1] 设g（t）=﹣4t2﹣t=﹣4（t+  ）2+  ，则当t=  时，g（t）的最大值为﹣ 再设h（t）=2t2﹣t=2（t﹣  ）2﹣ ，则当t= 时，h（t）的最大值为﹣ ∴（﹣  ﹣ ）max=﹣ ，（  ﹣ ）min=﹣ 所以，实数a的取值范围是[﹣  ，﹣  ]． |
展开全文阅读