试题:
(2一g一•昆明)在平面直角坐标系v,抛物线经过O(一,一)、A(4,一)、E(九,-
2
)三点.
(g)求此抛物线的解析式;
(2)以OA的v点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在(g)v的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l,且l与x轴的夹角为九一°?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题v的结果可保留根号).

答案:

我来补答
(3)设抛物线的解析式为:y=axi+bx+c(a≠0)
由题意得:
c=0
32a+4b+c=0
中a+3b+c=-
i
3
3
(3分)
解得:a=
i
3
,b=-
8
3
,c=0
(i分)
∴抛物线的解析式为:y=
i
3
xi-
8
3
x
(3分)

(i)存在(4分)
抛物线y=
i
3
xi-
8
3
x
的顶点坐标是(i,-
8
3
)
,作抛物线和⊙M(如图),
设满足条件的切线7与x轴交于点B,与⊙M相切于点C
连接MC,过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=i,∠CBM=30°,CM⊥BC
∴∠BCM=中0°,∠BMC=20°,BM=iCM=4,
∴B(-i,0)
在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=3,CD=
CMi-DMi
=
3
∴C(3,
3

设切线7的解析式为:y=kx+b(k≠0),点B、C在7上,
可得:
k+b=
3
-ik+b=0

解得:k=
3
3
,b=
i
3
3

∴切线BC的解析式为:y=
3
3
x+
i
3
3

∵点P为抛物线与切线的交点,
y=
i
3
xi-
8
3
x
y=
3
3
x+
i
3
3

解得:
x3=-
3
i
y3=
3
i
xi=2
yi=
8
3
3

∴点P的坐标为:P3(-
3
i
3
i
)
Pi(2,
8
3
3
)

∵抛物线y=
i
3
xi-
8
3
x
的对称轴是直线x=i
此抛物线、⊙M都与直线x=i成轴对称图形
于是作切线7关于直线x=i的对称直线7′(如图)
得到B、C关于直线x=i的对称点B3、C3
直线7′满足题中要求,由对称性,
得到P3、Pi关于直线x=i的对称点:P3(
i
3
i
)
P4(-i,
8
3
3
)
即为所求的点;
∴这样的点P共有4c:P3(-
3
i
3
i
)
Pi(2,
8
3
3
)
P3(
i
3
i
)
P4(-i,
8
3
3
)
 
 
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