试题:
△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.

(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;
(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:
① 当时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;
② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.

答案:

我来补答

(1)
(2)①A,B两点都不在这条抛物线上
②存在.m的值是1或-1
解:(1)  ∵ 点O是AB的中点, ∴ .  ……1分
设点B的横坐标是x(x>0),则,                   ……1分
解得 (舍去).
∴ 点B的横坐标是.                                        ……2分
(2) ① 当时,得  ……(*)
.                                        ……1分
以下分两种情况讨论.
情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为……1分

由此,可求得点C的坐标为(), ……1分
点A的坐标为(),
∵ A,B两点关于原点对称,
∴ 点B的坐标为().
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.
∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上.                        ……2分
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),
点A的坐标为(),点B的坐标为().

经计算,A,B两点都不在这条抛物线上.                         ……1分
(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在.m的值是1或-1.                                      ……2分
(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)
 
 
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