试题：
口袋里有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次取出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球．
（1）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望；
（2）设第n次由甲摸球的概率为an，试建立an与an-1（n≥2）的递推关系．
概率的基本性质（互斥事件、对立事件）, 离散型随机变量的期望与方差 2016-05-26

答案：

我来补答
解（1）：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B
则P(A)=P(B)=
4
4+8
=
1
3
，P(
.
A
)=P(
.
B
)=
2
3
，且A，B相互独立
依据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
且P(ξ=0)=P(
.
A
•B)+P(
.
A
.
•B
•
.
A
)=
2
3
×
1
3
+(
2
3
)3=
14
27
，P(ξ=1)=P(A•
.
A
)+P(
.
A
.
•B
•A)=
1
3
×
2
3
+
1
3
×(
2
3
)2=
10
27
，
P(ξ=2)=P(A•A•
.
A
)=(
1
3
)2×
2
3
，
P(ξ=3)=P(A•A•A)=(
1
3
)3=
1
27

∴Eξ=0×
14
27
+1×
10
27
+2×
2
27
+3×
1
27
=
17
27
…（8分）
（2）根据摸球规则可知，第n次由甲摸秋包括如下两个事件：
①第n-1次由甲摸球，且摸出红球，
其发生的概率为an-1×
1
3
；
②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，
其发生的概率为(1-an-1)×
2
3
，
∵上述两个事件互斥，
∴an=
1
3
an-1+
2
3
(1-an-1)，
即an=-
1
3
an-1+
2
3
(n≥2)…（12分）
 
 
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