试题:
(本题满分10分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.
(1)求异面直线AF与BG所成的角的大小;
(2)求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值

答案:

我来补答
(1) AF与BG所成角为;  (2)平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值为.
本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,其中建立空间坐标系,将空间线线夹角及二面角问题转化为空间向量夹角问题,是解答本题的关键.
由题意可知,AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz,求出图中各点坐标
(1)求出异面直线AF,BG的方向向量,根据两个向量的数量积为0,两个向量垂直,易得异面直线AF,BG所成的角的大小为
(2)求出平面APB的法向量为 n和设平面CPD的法向量为m, ,代入向量夹角公式 ,可得面APB与面CPD所成的锐二面角的大小
解 由题意可知:AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz

由平面几何知识知:AD=4,  D (0, 4, 0),  B (2 , 0 , 0 ),
C ( 2, 2, 0 ),  P (0, 0, 2),  E (0, 0, 1),  F (1 ,0, 1),  G (1 ,1 ,1)
(1)=(1,0,1),=(-1,1,1)
·=0,
∴AF与BG所成角为  .         
(2) 可证明AD⊥平面APB,
∴平面APB的法向量为n=(0,1,0)
设平面CPD的法向量为m=(1,y,z)
 Þ 
故m=(1,1,2)
∵cos<m,n>=
∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值为.
 
 
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