设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正 / 微思试题库

试题：

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=

，q=-

，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

等差数列的前n项和 2016-05-24

答案：

我来补答

（Ⅰ）由题意，得an=

，
解

≥3，得n≥

．
∴

≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b₃=7．

（Ⅱ）由题意，得a_n=2n-1，
对于正整数m，由a_n≥m，得n≥

m+1

．
根据b_m的定义可知
当m=2k-1时，b_m=k（k∈N^*）；
当m=2k时，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+…+b_2m-1）+（b₂+b₄+…+b_2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=

m(m+1)

m(m+3)

=m2+2m．

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得n≥

m-q

．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根据b_m的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+1＜

m-q

≤3m+2，
即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得m＜-

p+q

3p-1

（或m≤-

2p+q

3p-1

），这与上述结论矛盾！
当3p-1=0，即p=

时，得-

-q≤0＜-

-q，
解得-

≤q＜-

．（经检验符合题意）
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；p和q的取值范围分别是p=

，-

≤q＜-

．

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