设数列{an}为等比数列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+14x2)4的展开 / 微思试题库

试题：

设数列{a_n}为等比数列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）确定m的值
（2）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（3）记 An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn
①证明，当x=1时，An=n×2n-1
②当x≠1时，用n，x表示A_n．

等比数列的定义及性质, 二项式定理与性质 2016-05-24

答案：

我来补答

（1）由a₁=

3m2m+3

•

1m-2

得

2m+3≥3m

m-2≥1

⇔

m≤3

m≥3

，
∴m=3，
（2）a₁=

•

=1．
又(x+

4x2

)4 展开式中第2项T₂=

•x³•（

4x2

）=x，即公比为x，
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=

n，x=1

1-xn

1-x

，x≠1

；
（2）由S_n表达式引发讨论：
（Ⅰ）当x=1时，S_n=n，此时A_n=

+…+n

，①
又A_n=n

+（n-1）

+…+1•

n-1n

②
∴①+②得2A_n=n（

+…+

）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）当x≠1时，S_n=

1-xn

1-x

，此时A_n=

1-x

1-x2

1-x

+…+

1-xn

1-x

[（

+…+

）-（x

+x²

+x³

+…+xⁿ

）]
=

1-x

{（2ⁿ-1）-[（1+x）ⁿ-1]}
=

1-x

[2ⁿ-（1+x）ⁿ]．

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