试题:
设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))
处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ)用a分别表示b和c;
(Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.

答案:

我来补答
(Ⅰ)由f(x)=ax2+bx+c得到f'(x)=2ax+b.
因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),故f(0)=c=2a+3,
又曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,故f'(-1)=0,
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得bc=2a(2a+3)=4(a+
3
4
)2-
9
4

故当a=-
3
4
时,bc取得最小值-
9
4

此时有b=-
3
2
,c=
3
2

从而f(x)=-
3
4
x2-
3
2
x+
3
2
,f′(x)=-
3
2
x-
3
2
,g(x)=-f(x)e-x=(
3
4
x2+
3
2
x-
3
2
)e-x
所以g′(x)=[f(x)-f′(x)e-x]=-
3
4
(x2-4)e-x

令g'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)时,g'(x)<0,故g(x)在x∈(-∞,-2)上为减函数;
当x∈(-2,2)时,g'(x)>0,故g(x)在x∈(2,+∞)上为减函数.
当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,故g(x)在x∈(2,+∞)上为减函数.
由此可见,函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞);单调递增区间为(-2,2).
 
 
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