试题:
设函数f(x)=-2x3+3(1-2a)x2+12ax-1(a∈R)在x=x1处取极小值,x=x2处取极大值,且
x21
=x2

(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极大值与极小值的和.

答案:

我来补答
(1)求导函数,可得f′(x)=-6x2+6(1-2a)x+12a=-6(x-1)(x+2a)
令f'(x)=0,可得x=1或x=-2a
①若a≤-
1
2
时,x1=1,x2=-2a,由
x21
=x2
,可得1=-2a,a=-
1
2
,此时f′(x)≤0,函数无极值;
②若a>-
1
2
时,x1=-2a,x2=1,由
x21
=x2
,可得4a2=1,a=
1
2

此时,x∈(-∞,-1),f′(x)<0;x∈(-1,1),f′(x)>0;x∈(1,+∞),f′(x)<0
满足条件,综上知a=
1
2

(2)由(1)知,x1=-1,x2=1; f(x1)=f(-1)=2-12×
1
2
-1=-5,
∴函数极小值为-5;
f(x2)=f(1)=-2+12×
1
2
-1=3,
∴函数极大值为3
∴函数极小值与极大值的和为-2
 
 
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