试题:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.
(Ⅰ)探究新知:
如图①⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E、F、G..
(1)求证内切圆的半径r1="1;"
(2)求tan∠OAG的值;
(Ⅱ)结论应用
(1)如图②若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切,且⊙O1与AC、AB相切,⊙O2与BC、AB相切,求r2的值;
(2)如图③若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切,且⊙O1与AC、AB相切,⊙On与BC、AB相切,⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切,求rn的值.

答案:

我来补答
(Ⅰ)探究新知(1)证明见解析(2)1/2(Ⅱ)结论应用(1)(2)
解:(Ⅰ)(1)证明:在图①中,连接OE,OF。

∵点E、F、G是⊙O的切点
∴四边形CEOF是正方形, CE=CF=r1
又∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1,AG+BG=5。
∴(3-r1)+(4-r1)=5,解得r1=1。
(2)连接OG,OA在Rt△AOG中,∵OG=r1=1, AG= 3-r1=2,
∴tan∠OAG=
(Ⅱ)
(1)连接O1A、O2B,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E。
则 AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。
由(Ⅰ)tan∠OAG=,知tan∠O1AD=
同理可得:tan∠O2BE=。           
∴AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2
∵AD+DE+BE=5,∴
(2)如图③,
连接O1A、OnB,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnF⊥AB交于点F。则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。
tan∠O1AD=,tan∠OnBF=,
∴AD=2rn,DE=2rn,…,FB=3rn
又∵AD+DE+…+FB=5,2rn+2rn+…+3rn=5,即(2n+3) rn=5,

(Ⅰ)(1)由切线的性质可得四边形CEOF是正方形,从而由AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1,AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。
(2)根据锐角三角函数定义直接求得。
(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)的结论得tan∠O1AD=,同理可推得tan∠O2BE=,从而由AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2和AD+DE+BE=5可求得r2的值。
(2)由(Ⅱ)(1)有tan∠O1AD=,tan∠OnBF=,从而由AD=2rn,DE=2rn,…,FB=3rn和AD+DE+…+FB=5,2rn+2rn+…+3rn=5可求得rn的值。
 
 
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