试题:
(2013年浙江义乌8分)已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,PD交⊙O于点C,D,PE是⊙O的切线,E为切点,连结AE,交CD于点F.

(1)若⊙O的半径为8,求CD的长;
(2)证明:PE=PF;
(3)若PF=13,sinA=,求EF的长.

答案:

我来补答
解:(1)连接OD,
∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,⊙O的半径为8,

∴OB=OA=4,BC=BD=CD。
∴在Rt△OBD中,
∴CD=2BD=8
(2)证明:∵PE是⊙O的切线,∴∠PEO=90°。
∴∠PEF=90°-∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°-∠A。
∵OE=OA,∴∠A=∠AEO。∴∠PEF=∠PFE。∴PE=PF。
(3)过点P作PG⊥EF于点G,
∴∠PGF=∠ABF=90°。
∵∠PFG=∠AFB,∴∠FPG=∠A。
∴FG=PF•sinA=13×=5。
∵PE=PF,∴EF=2FG=10。
(1)首先连接OD,由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,⊙O的半径为8,可求得OB的长,又由勾股定理,可求得BD的长,然后由垂径定理,求得CD的长。
(2)由PE是⊙O的切线,易证得∠PEF=90°-∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°-∠A,继而可证得∠PEF=∠PFE,根据等角对等边的性质,可得PE=PF。
(3)首先过点P作PG⊥EF于点G,易得∠FPG=∠A,即可得FG=PF•sinA=13×=5,又由等腰三角形的性质,求得答案。
 
 
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