试题:
如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D
(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形, 保留痕迹,不要求写作法);
(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;
(3)若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似,若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.

答案:

我来补答
解:(1)作出圆心O,
以点O为圆心,OA长为半径作圆
(2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°
∴AD是⊙O的直径
连结OC,∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,
又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A =30°
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°
∴BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.
(3)存在. 
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B, 即DB=DC
又∵在Rt△ACD中,
DC=AD
∴BD=
①过点D作DP1// OC,
则△P1D B∽△COB,
∵BO=BD+OD=
∴P1D=×OC=× = 
②过点D作DP2⊥AB
则△BDP2∽△BCO

∵BC=
 
 
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