解：（1）∵点O是AB的中点，
∴，
设点B的横坐标是x（x>0），则，
解得（舍去），
∴点B的横坐标是；
（2）①当时，
得（＊），，
以下分两种情况讨论：
情况1：设点C在第一象限（如图甲），则点C的横坐标为，，
由此，可求得点C的坐标为，
点A的坐标为，
∵A，B两点关于原点对称，
∴点B的坐标为，
将点A的横坐标代入（＊）式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入（＊）式右边，计算得-，即等于点B的纵坐标，
∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上；
情况2：设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为，
点A的坐标为，点B的坐标为，
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上；
②存在；m的值是1或-1。
，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1，
当m=±1时，点C在x轴上，
此时A，B两点都在y轴上，
因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上。