试题:
已知复数z=
3
2
-
1
2
i
ω=
2
2
+
2
2
i
.复数
.
,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.
证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).

答案:

我来补答
解法一:z=
3
2
-
1
2
i=cos(-
π
6
)+isin(-
π
6
)
ω=
2
2
+
2
2
i=cos
π
4
+isin
π
4

于是zω=cos
π
12
+isin
π
12
.
=cos(-
π
12
)+isin(-
π
12
)
z2ω3=[cos(-
π
3
)+isin(-
π
3
)]×(cos
4
+isin
4
)
=cos
12
+isin
12

因为OP与OQ的夹角为
12
-(-
π
12
)=
π
2
,所以OP⊥OQ.
因为|OP|=|
.
|=1.|OQ|=|z2ϖ3|=1
,所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.
解法二:
因为z=
3
2
-
1
2
i=cos(-
π
6
)+isin(-
π
6
)
,所以z3=-i.
因为ω=
2
2
+
2
2
i=cos
π
4
+isin
π
4
,所以ω4=-1
于是
z2ω3
.
=
z2ω3
.
=
z3ω4
|z|2|ω|2
=i

由此得OP⊥OQ,|OP|=|OQ|.
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.
 
 
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